3 Fragen zu Lineare Gleichungen

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schrittür-Schritt-Anleitung Lösung des gegebenen Gleichssystems: 1. Gegebenes Gleichssystem: \[ \begin{} -3x + y = \\ 3 - y = \endcases} \] 2. Gleichungen nach \( y \ auflösen: \[ y =6 + 3x \quad \text(aus der ersten Gleichung)} \ \[ = 3x 6 \quad \text(aus der zweiten Gleichung)} \] 3. Die beiden Ausdrücke für \( y \) gleichsetzen: \[ 6 + 3x = 3x - 6 \] 4. Die Gleichung vereinfachen: \[ 6 + x - 3x = -6 \] \[ 6 = -6 \] Diese Gleichung ist offensichtlich falsch, was bedeutet, dass das ursprüngliche Gleichungssystem keine hat. Die beiden Geraden sind parallel und schneiden sich nicht. Das Gleichungssystem ist also widersprüchlich und hat keine Lösung.

Um das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Gleichungen aufstellen:** \[ 2x + 7y = -7 \quad \text{(1)} \] \[ 2x - 3y = 3 \quad \text{(2)} \] 2. **Beide Gleichungen nach \(2x\) umstellen:** \[ 2x = -7 - 7y \quad \text{(1')} \] \[ 2x = 3 + 3y \quad \text{(2')} \] 3. **Gleichsetzen der umgestellten Gleichungen:** \[ -7 - 7y = 3 + 3y \] 4. **Nach \(y\) auflösen:** \[ -7 - 7y = 3 + 3y \] \[ -7 - 3 = 7y + 3y \] \[ -10 = 10y \] \[ y = -1 \] 5. **Den Wert von \(y\) in eine der umgestellten Gleichungen einsetzen, um \(x\) zu finden:** \[ 2x = 3 + 3(-1) \] \[ 2x = 3 - 3 \] \[ 2x = \] \[ x = 0 \6. **Lösung des Gleichungssystems:** \[ x = 0, \quad y = -1 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also \(x = 0\) und \(y = -1\).

Um das Einsetzungsverfahren zu verwenden, wird die zweite Gleichung in die erste eingesetzt. Die beiden Gleichungen sind: I: \( 3x + y = 15 \) II: \( y = 5x - 11 \) Schritt 1: Setze \( y \) aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung ein: \( 3x + (5x - 11) = 15 \) Schritt 2: Löse die resultierende Gleichung nach \( x \) auf: \( 3x + 5x - 11 = 15 \) \( 8x - 11 = 15 \) \( 8x = 26 \) \( x = \frac{26}{8} \) \( x = \frac{13}{4} \) \( x = 3.25 \) Schritt 3: Setze den Wert von \( x \) in die zweite Gleichung ein, um \( y \) zu finden: \( y = 5(3.25) - 11 \) \( y = 16.25 - 11 \) \( y = 5.25 \) Die Lösung des Gleichungssystems ist: \( x = 3.25 \) \( y = 5.25 \)